Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Sumber Gambar:pixabay.com

     Postingan kali ini akan membahas mengenai "Persamaan dan Fungsi Kuadrat",oke langsung saja kita bahas. 

A.Persamaan Kuadrat

a.Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya dua.Dimana untuk bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

 dengan a,b, dan c bilangan real,a≠0.

b.Penyelesaian Persamaan Kuadrat 

Dalam melakukan penyelesaian persamaan kuadrat terdapat tiga cara/tiga metode dimana untuk caranya yaitu:

1.Memfaktorkan

2.Melengkapkan Kuadrat Sempurna

3.Menggunakan Rumus abc

1.Memfaktorkan

Prinsip jika p.q =0,maka p=0 atau q=0.
(a) Koefisien a=1
Yang mana untuk bentuk ax²+bx+c=0 dapat difaktorkan menjadi (x - α) (x - β) dimana
α + β =b dan α.β=c
Dengan kata lain,kita cari faktor c yang jika dijumlahkan sama dengan b.
(b) Koefisien a ≠ 1
Cari faktor dari ac (misal faktornya α dan β ) sedemikian hingga α + β=b dan α.β=ac.
Kemudian ubahlah ax²+bx+c=0 menjadi (ax+α)(ax+β)=0.

Contohnya :
 x² – 4 x + 3 = 0
Jawab:    x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0
x = 3   atau    x = 1 

2.Melengkapkan Kuadrat Sempurna
(a).Buatlah agar koefisien x² sama dengan 1.
(b).Pindahkan semua konstanta ke ruas kanan.
(c).Tambahkan kedua ruas dengan (1/2 koefisien x)^2.
(d).Ruas Kiri merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 6 x + 5 = 0.
Jawab:   x² – 6 x + 5 = 0
x² – 6 x + 9 – 4 = 0
x² – 6 x + 9 = 4
(x – 3)² = 4
x – 3 = 2  atau x – 3 = –2
x = 5    atau     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (1 , 5).

3.Rumus abc
Bentuk ax²+bx+c=0 akar-akarnya dapat dicari dengan rumus : 

Contoh :
Tentukan akar – akar dari persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus abc 
 x2 + 7x + 10 = 0
Berarti a adalah = 1, b adalah = 7, dan c adalah = 10

Jawab :

X1 = (-b + √b² – √4ac): 2a
     = (-7 + √7x2 – √4 x 1 x 10 ) : 2 x 1
     = (-7 + √49 – √40 ): 2
     = (-7 + 3) : 2 
     = -2

X2= (-b – √b² – √4ac): 2a
     = (-7 – √72 – 4 x 1 x 10) : 2 x 1
     = (-7 – √49 – √40) : 2
     = (-7 – 3 ): 2
     = -5 
Jadi, x adalah = -2 atau bisa juga x adalah = -5

c.Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
     Jenis-jenis akar persamaan kuadrat dapat ditentukan tanpa harus menyelesaikan
persamaan kuadrat,ax²+bx+c,yaitu tergantung pada nilai diskriminan (yaitu D=b²-4ac).
1) Jika D>0,maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berbeda.
2) Jika D=0,maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama(akar kembar).
3) Jika D<0,maka berupa bilangan imajiner sehingga akar persamaan kuadrat itu tidak real,
     artinya persamaan kuadrat itu mempunyai akar khayal.

Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat 
berikut:
1).x² + 5x + 2 = 0
2).x² – 10x + 25 = 0
3).3x² – 4x + 2 = 0

Jawab : 
1).x² + 5 x + 2 = 0
a = 1  ,  b = 5  ,  c = 2
D = b² – 4ac = 5² – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata  D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0  mempunyai dua akar real berlainan.

2).x² – 10 x + 25 = 0
a = 1  , b = -10  ,  c = 25
D = b² – 4ac = (-10)² – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena  D = 0, maka persamaan x² – 10 x + 25 = 0  mempunyai dua akar real sama.
 
3).3x² – 4 x + 2 = 0
a = 3  ,  b = –4  ,  c = 2
D = b² – 4ac = (-4)² – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8
Ternyata bahwa  D < 0. Jadi, persamaan  3x² – 4 x + 2 = 0  tidak mempunyai akar real.

d.Rumus Akar Persamaan Kuadrat
1). x1+x2 = -b/a
2). x1.x2 =c/a
3). x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2
4). x1³+x2³=(x1+x2)³-3x1x2(x1+x2)

B.Fungsi Kuadrat
Adalah suatu fungsi yang berupa f(x)=ax²+bx+c dengan a,b,c ∈ R; a ≠ 0.
Nilai fungsi f(x) untuk x = k adalah f(k).
Beberapa hal yang perlu diketahui berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat adalah:
    Jika  a> 0, kurva terbuka ke atas.
    Jika  a< 0 , kurva terbuka ke bawah.
    Jika  D> 0, kurva memotong sumbu  x di dua titik yang berbeda.
    Jika  D= 0, kurva menyinggung sumbu x.
    Jika  D< 0, kurva tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x.

1.Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah:
(a). Menentukan titik potong terhadap sumbu X, diperoleh jika y=0
(b). Menentukan titik potong terhadap sumbu Y, diperoleh jika x=0
(c). Menentukan koordinat titik puncak.
      Titik puncak :

Selanjutnya nilai 

jika a>0,maka grafik terbuka ke atas,nilai baliknya minimum
jika a<0,maka grafik terbuka ke bawah,nilai baliknya maksimum.

(d). Menentukan koordinat titik bantu (bila perlu).
Contoh :

 Sumber Gambar :academia.edu

2.Menyusun Fungsi Kuadrat
a. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di (x1,0) dan (x2,0) serta melalui 
    sebuah titik tertentu.

    y=f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)

b. Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di titik (x1,0) dan melalui sebuah titik
    tertentu.

   y=f(x)=a(x- x₁)²

c. Jika diketahui titik puncak/titik balik P(p,q) dan sebuah titik lain,maka fungsi kuadratnya
    dinyatakan;

   y=f(x)=a(x-p)²+q

d. Jika diketahui tiga buah titik yang dilalui grafik fungsi kuadrat, maka fungsi kuadratnya dapat
    diperoleh dengan cara menyubstitusikan ketiga titik tersebut ke persamaan umum fungsi;

    y=f(x)=ax²+bx+c

sehingga didapat sistem persamaan linear tiga variabel.

Untuk materi lain klik gambar di bawah ini:

Untuk materi sebelumnya klik gambar di bawah ini: 

  
Cukup sekian untuk pembahasan kali ini,silahkan jika ingin berkomentar atau memberikan 
saran,mohon maaf apabila ada kesalahan semoga pembahasan ini dapat bermanfaat.
Dalam pembuatan artikel ini tak luput dari referensi yaitu dari beberapa situs, jika artikel 
di atas terdapat kekeliruan atau kesalahan,mohon untuk hubungi saya melalui contact 
atau melalui komentar.
 
Sumber :
https://fardiansyah7fold.wordpress.com/116-2/
https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Persamaan-dan-Fungsi
-Kuadrat-2008/konten3.html
https://rumus.co.id/rumus-abc/ 
https://cermatweb.wordpress.com/2017/03/20/persamaan-dan-fungsi-kuadrat/ 
https://www.academia.edu/9722141/FUNGSI_KUADRAT